*****************************************************************************
             NATURAL EXPONENTIAL FUNCTION and NATURAL LOGARITM
*****************************************************************************

 why e = 2.718281828459.... ?

 Exp definition:

      y ^                 *=exp(x)
        |     *           /= 1+x
        |        /
        |      /         !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
        |   */            definition:  a^n = 1+n, n->0 ;k=1
        |  /                           a^(nk) = 1+(nk), n->0, k=/=1
        |/                there is only one exp. function there where
        1                       exp(x->0) = 1+(x->0)
     */ |
 *  /   |
--/-----+---------------> x
/

using definition  a^n  = 1+n, n->0


      diagram detail:

                 y ^
                   |           *
                   |
                   |         n
             1+(nk)+------+ e  = 1+(nk)
                   |      |
                   |      |
                   | *    |
                ---+------+---
                 * |
                   |      |
                   |
                   |      |
                  ///
                   |
 ------------------+------+---------------->x
                   |      nk

           k/i
therefore a     = 1+ k/i, i->infinite

        ÚÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ¿
        ³                      i  ³
        ³ k  k        /     k \   ³
        ³e =a = lim  ( 1 + --- )  ³
        ³      i->inf.\     i /   ³
        ³                         ³
        ÀÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÙ

because a^n = 1+n, n->0

        a^n - 1 = n, n->0     e=a

therfore

   ÚÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ¿
   ³           n              ³
   ³        / e   - 1 \       ³
   ³  lim  ( --------  ) = 1  ³
   ³  n->0  \    n    /       ³
   ³                          ³
   ÀÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÙ


NATURAL LOGARITHM VS. 1/x

 +------------------------+
 |                    x   |
 | ln(r) = x <=> r = e    |
 |                        |
 +------------------------+

  first derivative of ln(x)

  ln'(x):                                           t=x/x0

         / ln(x)-ln(x0) \          1   / ln(x/x0) \          1   / ln(t) \
   lim  ( -------------- ) =  lim --- ( ---------- ) =  lim --- ( ------- )=
  x->x0  \    x - x0    /    x->x0 x0  \  x/x0 - 1/     t->1 x0  \  t-1  /


        /  ln(t) \                                u
  lim  ( -------- )=1,substitution: ln(t)= u <=> e  = t, /\ !! while t->1 !!
  t->1  \  t-1   /                                          !!       u->0 !!

        /   u     \          / e^u -1 \
  lim  (---------- ) = lim  ( -------- ) = 1
  u->0  \ e^u -1  /    u->0  \   u    /

           1
  ln'(x) =---
           x

  therfore:

  |*
  |      * = 1/x
  |
  | *           surface below 1/x ; x(- <1,e> = 1
  |
  |  *                  e^S
  |                    /
  |    *               | (1/x)dx = ln(1) - ln(e^S) = S
  |                    /
  |        *          1
  |             1,1
 1+             *
  |             ###
  |             ##### *
  |             ##########
  |             #### S=1 ########*
  |             ##########################|        *
  +-------------+-------------+-----------+----------//--+---------
                1             2           e     ........(e^S)


------------------------------------------------------------------------
                                           -x
WHY first order differential equation has e  solution ?
------------------------------------------------------------------------

expression of first differential equation coud be derived from
   R-C network:
   R-L network
   self-cooling/heating of tank (heat conduction)...

          generally : dx/dt = /\x/k ;    k=R, /\x = X-x, X-input
                                                         x-current value
   stroke: t=0
       _|_    R
  | O--o o--[===]-+----o |
  |               |      |
  |              ===     |u=f(t)
 U|               |      |
  | O-------------+----o |
                        


 C=Q/U -> C = dq/du -> C = idt/du -> du = (1/C)*idt

 i = (U-u)/R

 du = (1/RC)*(U-u)dt;  1/RC = k

 du
---- = k(U-u)  ;k=1, U=1
 dt

  Only function that has derivative equal to it's value (f(x)=f'(x)) can

  accomplish:             u      / y=1+u ~~1-u
                          |     /
      du                  -    +
     ---- = 1-u       du| |   /
      dt                  -  +
                          ³ /
         ~~1-u            ³/
                         1/
                         /³                           -t
                      --/-+--|-|----->t   u->0 => 1-u=e   because u->0 => t->0
                       /      dt
 ÚÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ¿
 ³ÚÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ¿³
 ³³  du          -u  -t                ³³  !--------------------!
 ³³ ---- = 1-u =e  =e   ,!u->0 =>t->0  ³³   e^n = 1+n, n->0 ;k=1
 ³³  dt                                ³³  !--------------------!
 ³ÀÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÙ³
 ÀÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÙ

    /      -t \'     -t         -t
   ( u= 1-e    ) = -e  *(-1) = e
    \         /


  NOTE: (1/x)' = ln(x) already derived above:

  du              du
  -- = 1-u  ->  ----- = dt
  dt             1-u


  /  du
  | ---- = t   =>  ln(1-u)*(-1) = t
  /  1-u
                          -t
                   1-u = e

                ÚÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ¿
                ³         -t  ³
                ³  u = 1-e    ³
                ÀÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÙ

=============================================================================
derived conversion function:  log_a(x) = log_b(x)/log_b(a)


 a^y  = x => y = log_a(x)


 a^y  = x => log_b(a^y)=log_b(x)
             y*log_b(a)=log_b(x)
             y=log_b(x)/log_b(a)   /\ y = log_a(x)
        ÉÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍ»
        º                   log_b(x)    º
        º    => log_a(x) = ---------    º
        º                   log_b(a)    º
        ÈÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍͼ


         log_a(b) * log_b(a) = 1:

         log_b(a)=log_a(a)/log_a(b) = 1/log_a(b);

=============================================================================

derived conversion function:
          x       x*log_b(a)
         a     = b
                                                  log_b(y)
   log_a(y) = x  =>   y = a^x      /\ log_a(y) = ---------
                                                  log_b(a)
         log_b(y)
     x = --------
         log_b(a)

     x*log_b(a) = log_b(y)

          x*log_b(a)
     y = b             /\ y = a^x

  ÉÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍ»
  º   x      x*log_b(a) º
  º  a    = b           º
  ÈÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍͼ


basics:
   ln((1+x)^k) = kx , x->0

   ln(X)
   x=(1+n)^k

   ln(1+n)=n, jestlize zname k, pak ln(x) = kn


============================================================================

 REASON OF "NON-EXISTING" inverse function of x*exp(x)=eip(x)

 define:

 eip(x) = x*exp(x) = x(1+x), x->0


        x= lin(eip(x))  ; lin is inverse fce of eip(x)

        x= lin(x(1+x); x->0

        nx = lin(nx(1+x)^n ); x->0, n elmt. of N

        nx(1+x)^n = y

        y
       --- = x(1+x)^n
        n

HOW TO RESOLVE ? x(1+x)^n = a ?, when x->0, n->infinite

   when x= k/n       x(1+x)^n = (x*exp^x)/n